Fiche statistiques brevet : médiane, quartiles, fréquences

À lire aussi sur BrevetIA : les fiches de maths du brevet.

Les statistiques au brevet figurent au programme de mathématiques de 3e. Parmi les notions à connaître, il y a la médiane, les quartiles et les fréquences. Ces notions permettent d’analyser et d’interpréter des séries de données. Cette fiche te guide à travers chaque notion avec des définitions claires et des méthodes de calcul.

Médiane : définition et calcul

La médiane est la valeur qui divise une série de données en deux parties égales : 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, et 50 % lui sont supérieures ou égales. Contrairement à la moyenne, la médiane ne dépend pas des valeurs extrêmes, ce qui en fait un indicateur robuste.

Étapes pour calculer la médiane

• Ordonner les données : range toutes les valeurs dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand).
• Déterminer la position : si le nombre de données est impair, la médiane est la valeur du milieu. Si le nombre est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
• Identifier ou calculer : relève directement la valeur médiane, ou additionne les deux valeurs centrales et divise par 2.

Exemple : soit la série 3, 7, 2, 9, 5. Ordonnée : 2, 3, 5, 7, 9. Il y a 5 valeurs (impair), donc la médiane est la 3e valeur : 5.

Autre exemple : 4, 8, 2, 6. Ordonnée : 2, 4, 6, 8. Il y a 4 valeurs (pair), donc la médiane = (4 + 6) ÷ 2 = 5.

Quartiles et interprétation

Les quartiles divisent une série de données ordonnées en quatre parties égales de 25 % chacune. On en distingue trois :

• Q1 (premier quartile) : sépare les 25 % les plus petites valeurs des 75 % restantes.
• Q2 (deuxième quartile) : c’est la médiane. Il sépare les 50 % inférieurs des 50 % supérieurs.
• Q3 (troisième quartile) : sépare les 75 % les plus petites valeurs des 25 % les plus grandes.

Calcul des quartiles

Après avoir ordonné les données et compté leur nombre n :

• Calcule d’abord la médiane (Q2).
• Q1 est la valeur de rang n ÷ 4, arrondi à l’entier supérieur : c’est la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales.
• Q3 est la valeur de rang 3n ÷ 4, arrondi à l’entier supérieur : c’est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données lui soient inférieures ou égales.

Exemple concret : série de 12 notes : 5, 7, 8, 9, 10, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18.
Médiane (Q2) = (10 + 12) ÷ 2 = 11
Q1 : 12 ÷ 4 = 3, donc Q1 est la 3e valeur, soit 8
Q3 : 3 × 12 ÷ 4 = 9, donc Q3 est la 9e valeur, soit 14

Fréquences et fréquences cumulées

La fréquence exprime la proportion ou le pourcentage d’une valeur ou d’une classe dans un ensemble de données. Les fréquences cumulées s’ajoutent progressivement pour montrer l’accumulation jusqu’à une certaine valeur.

Calculer une fréquence

Formule : Fréquence = (Effectif de la valeur) ÷ (Effectif total) × 100 (en %)

ou simplement Fréquence = Effectif ÷ Effectif total (en décimal)

Exemple : dans une classe de 30 élèves, 6 ont les yeux bleus. Fréquence = 6 ÷ 30 = 0,2 = 20 %.

Fréquences cumulées

La fréquence cumulée croissante additionne successivement toutes les fréquences jusqu’à une certaine valeur. Elle sert à interpréter des données et notamment à déterminer les quartiles dans un tableau de fréquences.

Exemple : les notes de 30 élèves à un contrôle.

• 8 sur 20 : 3 élèves, fréquence 10 %, fréquence cumulée 10 %
• 10 sur 20 : 6 élèves, fréquence 20 %, fréquence cumulée 30 %
• 12 sur 20 : 9 élèves, fréquence 30 %, fréquence cumulée 60 %
• 14 sur 20 : 9 élèves, fréquence 30 %, fréquence cumulée 90 %
• 16 sur 20 : 3 élèves, fréquence 10 %, fréquence cumulée 100 %

On lit que 60 % des élèves ont 12 ou moins. Pour retrouver la médiane et les quartiles, on cherche la première valeur dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse 50 %, 25 % et 75 %. Ici, la médiane est 12, Q1 vaut 10 et Q3 vaut 14.

Questions fréquentes

Comment calculer la médiane d’une série statistique ?

La médiane est la valeur qui divise la série en deux parties égales. Si la série a un nombre impair de valeurs, c’est la valeur du milieu. Si elle a un nombre pair de valeurs, c’est la moyenne des deux valeurs du milieu après avoir classé les données en ordre croissant.

Quelle est la différence entre le premier et le troisième quartile ?

Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales. Q3 est celle pour laquelle au moins 75 % des données le sont. L’écart entre Q3 et Q1 s’appelle l’écart interquartile.

Comment calculer la fréquence d’une valeur en statistiques ?

La fréquence est le rapport entre le nombre de fois qu’une valeur apparaît et le nombre total de données. Elle se calcule avec la formule : fréquence = effectif / effectif total, et peut être exprimée en fraction, décimal ou pourcentage.